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PRODUCTOS NOTABLES .Edit

QUE ES UN PRODUCTO NOTABLE?

Una expresión algebraica que aparece con frecuencia y que puede someterse a una factorización a simple vista, por lo tanto, se denomina producto notable. Un binomio cuadrado y el producto de dos binomios conjugados son ejemplos de productos notables.



PRODUCTOS NOTABLES. Definición y Casos

PRODUCTOS NOTABLES. Definición y Casos. Parte I-0











Pasos de para realizar el proceso de un Producto Notable:Edit

Mira los videos explicativos de los pasos para los Productos Notables:

Productos notables │ completo-0

Productos notables │ completo-0

PRODUCTOS NOTABLES BINOMIO AL CUADRADO (Ejercicio 1)

PRODUCTOS NOTABLES BINOMIO AL CUADRADO (Ejercicio 1)

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EJEMPLOS DE PRODUCTOS NOTABLES:Edit

a. Binomio de suma al cuadrado: es igual al cuadrado del primer término, más el doble del producto de los términos, más el cuadrado del segundo término. Se expresa de la siguiente manera:

(a + b)2 = (a + b) (a + b).

En la figura siguiente se puede observar cómo se desarrolla el producto según la regla mencionada. El resultado es llamado de trinomio de un cuadrado perfecto. ​​​​​ Ejemplo 1

(x + 5)² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5)² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5)² = x² + 10x+ 25.

Ejemplo 2

(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4a * 2b) + (2b)2

(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2

(4a + 2b) = 8a+ 16 ab + 4b2.

b. Binomio de una resta al cuadrado: se aplica la misma regla del binomio de una suma, solo que en este caso el segundo término es negativo. Su fórmula es la siguiente:

(a – b)2 = [(a) + (- b)]2

(a – b)2 = a2 +2a (-b) + (-b)2

(a – b)2  = a2 – 2ab + b2.

Ejemplo 1

(2x – 6)2 = (2x)2 – 2 (2x * 6) + 62

(2x – 6)= 4x2 – 2 (12x) + 36

(2x – 6)2 = 4x2 – 24x + 36.

Producto de binomios conjugadosEdit

Dos binomios son conjugados cuando los segundos términos de cada uno son de signos diferentes, es decir, el del primero es positivo y el del segundo negativo o viceversa. Se resuelve elevando cada monomio al cuadrado y se restan. Su fórmula es la siguiente:

(a + b) (a – b)

En la siguiente figura se desarrolla el producto de dos binomios conjugados, donde se observa que el resultado es una diferencia de cuadrados.

Ejemplo 1

(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b2)

(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a– 9b2.

Producto de dos binomios con un término comúnEdit

Es uno de los productos notables más complejos y poco utilizados porque se trata de una multiplicación de dos binomios que tienen un término en común. La regla indica lo siguiente:

  • El cuadrado del término común.
  • Más la suma los términos que no son comunes y luego multiplicarlos por el término común.
  • Más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes.

Se representa en la fórmula: (x + a) * (x + b) y es desarrollada como se muestra en la imagen. El resultado es un trinomio cuadrado no perfecto. (x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 9) (x + 6) * (x + 9) = x+ 15x + 54.

Existe la posibilidad de que el segundo término (el término diferente) sea negativo y su fórmula es la siguiente: (x + a) * (x – b).

Ejemplo 2

(7x + 4) * (7x – 2) = (7x 7x) + (4 – 2)* 7x + (4 * -2)

(7x + 4) * (7x – 2) = 49x+ (2)7x – 8

(7x + 4) * (7x – 2) = 49x2 + 14x – 8.

También puede ser el caso de que ambos términos diferentes sean negativos. Su fórmula será: (x – a) * (x – b).

Ejemplo 3

(3b – 6) * (3b – 5) = (3b * 3b) + (-6 – 5)* (3b) + (-6 * -5)

(3b – 6) * (3b – 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)

(3b – 6) * (3b – 5) = 9b– 33b + 30.

Polinomio al cuadradoEdit

En este caso existen más de dos términos y para desarrollarlo, cada uno se eleva al cuadrado y se suman junto con el doble de la multiplicación de un término con otro; su fórmula es: (a + b + c)2 y el resultado de la operación es un trinomio al cuadrado.

Ejemplo 1



(3x + 2y + 4z)2 = (3x)2 + (2y)2 + (4z)2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)2 = 9x2 + 4y+ 16z2 + 12xy +24xz + 16yz.

Binomio al cuboEdit

Es un producto notable complejo. Para desarrollarlo se multiplica el binomio por su cuadrado, de la siguiente manera:

a. Para el binomio al cubo de una suma:

  • El cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primer término por el segundo.
  • Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
  • Más el cubo del segundo término.

(a + b)3 = (a + b) (a + b)2

(a + b)3 = (a + b) * (a2 + 2ab + b2)

(a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Ejemplo 1

(a + 3)3 = a3 + 3(a)2*(3) + 3(a)*(3)2 + (3)3

(a + 3)3 = a+ 3 (a)2*(3) + 3(a)*(9) + 27

(a + 3)3 = a+ 9 a2 + 27a + 27.

b. Para el binomio al cubo de una resta:

  • El cubo del primer término, menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo.
  • Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
  • Menos el cubo del segundo término.

(a – b)3 = (a – b) (a – b)2

(a – b)3 = (a – b) * (a2 – 2ab + b2)

(a – b)3 = a3 – 2a2b + ab2 – ba2 + 2ab2 – b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

EJEMPLO 2 :
(b – 5)3 = b3 + 3(b)2*(-5) + 3(b)*(-5)2 + (-5)3

(b – 5)3 = b3 + 3(b)2*(-5) + 3(b)*(25) -125

(b – 5)3 = b– 15b2 +75b – 125



Factorizacion:Edit

QUE ES LA FACTORIZACION:

En matemáticas la factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma o resta, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.


PROCESO DE FACTORIZACION:Edit

Los procesos estaran aqui abajo:Edit

Factorización por factor común (Ejemplo 1)

Factorización por factor común (Ejemplo 1)

Factorización por agrupación ejemplo 2

Factorización por agrupación ejemplo 2










EJEMPLOS DE FACTORIZACION:Edit

10 Ejemplos de factorización:Edit

1. 4a3 + 6a2b – 2ab4 = 2a (2a2 + 3ab – b4)

.26xy3 – 12mx2y2 + 3m2x4y3 = 3xy(2y2 – 4mxy + mx3y2)


3. xm + 2m + x + 2 = m(x+2) + x + 2


4. 2x(x + y + z) – x –y –z = (x + y + z) (2x – 1)


5. (m – n) (x + 2) + c(x + 2) = (x + 2) (m – n + c)


6. ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)


7. ax + ay + x –y + z = (x – y + z) (a + 1)


8. m2 + 2m + 1 = (m + 1)2


9. 16×4 -16x2y + 4y2 = (4×2 – 2y)


10. 9×2- 16z4 = (3x + 4z2)(3x – 4z2)

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